问题:
证明对于 \( 1 < p < \infty \), 存在常数 \( C_p \) 满足：对于任意 \( \mathbb{R}^d \) 上的局部可积函数 \( f \),
如果 \( f \in L^p(\mathbb{R}^d) \), 则有
\[ \|f^*\|_p \le C_p \|f\|_p, \]
其中 \( f^* \) 是 Hardy-Littlewood 极大函数，定义为：
\[ f^*(x) = \sup_{B \ni x} \frac{1}{m(B)} \int_B |f(y)| \, dy, \]
解答: (
ID:
管理员[Alina Lagrange] math@lamu.run
)
\[
\|f^*\|_p^p = \int_{\mathbb{R}^d} |f^*(x)|^p \, dx = p \int_0^\infty \alpha^{p-1} m(E_\alpha) \, d\alpha,
\]
其中 \( E_\alpha = \{ x \mid f^*(x) > \alpha \} \)。
对于 \( \alpha > 0 \)，定义 \( G_\alpha = \{ x \mid |f(x)| > \alpha/2 \} \)。
对于任意 \( x \in E_\alpha \)，存在开球 \( B_x \) 包含 \( x \) 使得：
\[
\frac{1}{m(B_x)} \int_{B_x} |f(y)| \, dy > \alpha.
\]
即：
\[
\int_{B_x} |f(y)| \, dy > \alpha \cdot m(B_x).
\]
我们可以将 \( \int_{B_x} |f(y)| \, dy \) 拆分为：
\[
\int_{B_x} |f(y)| \, dy = \int_{B_x \cap G_\alpha} |f(y)| \, dy + \int_{B_x \setminus G_\alpha} |f(y)| \, dy.
\]
在 \( B_x \setminus G_\alpha \) 上，\( |f(y)| \le \alpha/2 \)，因此：
\[
\int_{B_x \setminus G_\alpha} |f(y)| \, dy \le \frac{\alpha}{2} m(B_x).
\]
因此：
\[
\int_{B_x} |f(y)| \, dy \le \frac{\alpha}{2} m(B_x) + \int_{B_x \cap G_\alpha} |f(y)| \, dy.
\]
结合 \( \int_{B_x} |f(y)| \, dy > \alpha \cdot m(B_x) \)，我们得到：
\[
\alpha \cdot m(B_x) < \frac{\alpha}{2} m(B_x) + \int_{B_x \cap G_\alpha} |f(y)| \, dy,
\]
即：
\[
\frac{\alpha}{2} m(B_x) < \int_{B_x \cap G_\alpha} |f(y)| \, dy,
\]
因此：
\[
m(B_x) < \frac{2}{\alpha} \int_{B_x \cap G_\alpha} |f(y)| \, dy.
\]
对于任意紧集 \( K \subset E_\alpha \),
\( \{B_x\}_{x \in K} \) 是 \( K \) 的一个开覆盖.
由 Vitali 覆盖引理,
存在可数个互不相交的球 \( \{B_{i_j}\} \) 使得：
\[
m(K) \le 3^d \sum_j m(B_{i_j}).
\]
因此
\[
m(K) \le 3^d \sum_j m(B_{i_j}) \le 3^d \cdot \frac{2}{\alpha} \sum_j \int_{B_{i_j} \cap G_\alpha} |f(y)| \, dy \le \frac{2 \cdot 3^d}{\alpha} \int_{G_\alpha} |f(y)| \, dy.
\]
由于 \( K \) 是 \( E_\alpha \) 的任意紧子集,
由内正则性：
\[
m(E_\alpha) \le \frac{2 \cdot 3^d}{\alpha} \int_{G_\alpha} |f(y)| \, dy.
\]
将 \( m(E_\alpha) \) 的估计代入 \( \|f^*\|_p^p \) 的表达
\[
\|f^*\|_p^p = p \int_0^\infty \alpha^{p-1} m(E_\alpha) \, d\alpha \le p \int_0^\infty \alpha^{p-1} \cdot \frac{2 \cdot 3^d}{\alpha} \int_{G_\alpha} |f(y)| \, dy \, d\alpha.
\]
\[
\|f^*\|_p^p \le 2 p \cdot 3^d \int_{\mathbb{R}^d} |f(y)| \left( \int_0^{2|f(y)|} \alpha^{p-2} \, d\alpha \right) dy.
\]
\[
\int_0^{2|f(y)|} \alpha^{p-2} \, d\alpha = \frac{(2|f(y)|)^{p-1}}{p-1}.
\]
因此
\[
\|f^*\|_p^p \le 2 p \cdot 3^d \cdot \frac{2^{p-1}}{p-1} \int_{\mathbb{R}^d} |f(y)|^p \, dy = \frac{2^p \cdot 3^d \cdot p}{p-1} \|f\|_p^p.
\]
取：
\[
C_p = \left( \frac{2^p \cdot 3^d \cdot p}{p-1} \right)^{1/p},
\]
\[
\|f^*\|_p \le C_p \|f\|_p.
\]
